Logaritmo: Calculos Parte 4 ( Aula 4 de 5)

Logaritmo questões resolvidas

Questão com equação logarítmica no Enem de 2013

Em setembro de 1987, Goiânia foi palco do maior acidente radioativo ocorrido no Brasil, quando uma amostra de césio-137, removida de um aparelho de radioterapia abandonado, foi manipulada inadvertidamente por parte da população. A meia-vida de um material radioativo é o tempo necessário para que a massa desse material se reduza à metade. A meia-vida do césio-137 é 30 anos e a quantidade restante de massa de um material radioativo, após t anos, é calculada pela expressão M(t) = A · (2,7)^kt, onde A é a massa inicial e k é uma constante negativa.
Considere 0,3 como aproximação para log10 2.

Qual o tempo necessário, em anos, para que uma quantidade de massa do césio-137 se reduza a 10% da quantidade inicial?

a) 27
b) 36
c) 50
d) 54.
e) 100.

Resolução: De acordo com o enunciado do exercício, sabemos que a meia-vida do césio-137 é de 30 anos. Aplicando esse valor à expressão M(t) = A · (2,7)^kt, podemos substituir o tempo t por 30 e a massa A, quando t = 30, por A/2:

M(t) = A · (2,7)^kt
 A  = A · (2,7)k.30
2                    
(2,7)^30.k =  1  
                           2            
(2,7)^30.k = 2 ^{– 1}
 
Agora basta aplicar logaritmo de base 10 em ambos os lados da equação:

log (2,7)^30.k = log ^{2 – 1}
30k. log 2,7 = – 1. log 2 

Como log10 2 = 0,3:

30k. log 2,7 = – 1. 0,3
30k. log 2,7 = – 0,3
log 2,7 =  – 0,3 
                 30k
log 2,7 =  – 0,01  (*)
             k

Reserve a equação (*), logo mais ela nos será necessária. Você se lembra de que a pergunta do exercício era “Qual o tempo necessário, em anos, para que uma quantidade de massa do césio-137 se reduza a 10% da quantidade inicial?”. Pois bem, precisamos descobrir em quanto tempo a massa será apenas 10% da massa inicial, ou seja, 0,1A. Assim sendo:

0,1A = A · (2,7)^kt
(2,7)^kt = 0,1

Aplicando logaritmos em ambos os lados da igualdade, teremos:

log (2,7)^kt = log 0,1
kt. log 2,7 = – 1

Mas pela equação (*), podemos substituir log 2,7:

kt. log 2,7 = – 1
kt. (– 0,01) = – 1
k
– 0,01t = – 1
t =   1   
     0,01
t = 100

Portanto, em 100 anos, a massa do césio-37 será reduzida para 10¢ da quantidade inicial. A alternativa correta é a letra e.

Questão com equação logarítmica no Enem de 2011

A Escala de Magnitude de Momento (abreviada como MMS e denotada como Mw), introduzida em 1979 por Thomas Haks e Hiroo Kanamori, subsituiu a Escala de Richter para medir a magnitude dos terremotos em termos de energia liberada. Menos conhecida pelo público, a MMS é, no entanto, a escala usada para estimar as magnitudes de todos os grandes terremotos da atualidade. Assim como a escala Ricther, a MMS é uma escala logarítmica. M_w e M₀ se relacionam pela fórmula:

M_w = – 10,7 +  2 log₁₀ (M₀)
       3

Onde M₀ é o movimento sísmico (usualmente estimado a partir dos registros de movimento da superfície, através dos sismogramas), cuja unidade é o dina⋅ cm.
O terremo de Kobe, acontecido no dia 17 de janeiro de 1995, foi um dos terremotos que causaram maior impacto no Japão e na comunidade científica internacional. Teve magnitude M_w= 7,3. 

U.S. GEOLOGICAL SURVEY. Historic Earthquakes.
Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado).
U.S. GEOLOGICAL SURVEY. USGS Earthquake Magnitude Policy.
Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado).

Mostrando que é possível determinar a medida por meio de conhecimentos matemáticos, qual foi o momento sísmico M₀ do terremoto de Kobe (em dina⋅ cm)?

a) 10 ^{– 5,10}
b) 10 ^{– 0,73}
c) 10 ^12,00
d) 10 ^21,65
e) 10 ^27,00

Resolução: De acordo com o exercício, podemos utilizar a seguinte equação logarítmica para medir a magnitude dos terremotos:

Mw = – 10,7 +  2 log₁₀ (M₀)
       3

Se o terremoto de Kobe teve magnitude M_w = 7,3, basta substituirmos esse valor na equação logarítmica para determinar seu momento sísmico M₀:

Mw = – 10,7 +  2 log₁₀ (M₀)
       3
7,3 = – 10,7 +  2 log₁₀ (M₀)
       3
7,3 + 10,7 =  2 log₁₀ (M₀)
     3
18 =  2 log₁₀ (M₀)
3      
 2 log10 (M₀) = 18
3                      
2.log₁₀ (M₀) = 18.3
log₁₀ (M₀) = 54
                  2
log₁₀ (M₀) = 27

Aplicando as propriedades operatórias dos logaritmos, temos:

M₀ = 1027

Portanto, o momento sísmico do terremoto de Kobe foi de M₀ = 10²⁷ _dina⋅ cm e a alternativa correta é a letra e.

Logaritmo-Grafico

Em seus estudos anteriores, você já deve ter aprendido a trabalhar um pouco com logaritmos do tipo log10 x. Esse logaritmo é definido como                                  log10 x = b    se, e somente se,   10b = x onde o número 10 é denominado base do logaritmo. A figura abaixo mostra o gráfico da função logaritmica f(x) = log10 x.

No estudo do Cálculo, a base mais utilizada para logaritmos é o número e. Nesse caso, o logaritmo loge x = ln x é denominado "logaritmo natural de x" e definido como                             ln x = loge x = b    se, e somente se,   eb = x

A figura abaixo mostra o gráfico da função logaritmica natural f(x) = ln x.

Observe que:

Se x > 0, então ln x é o expoente ao qual deve se elevar a base e para se obter o valor de x.

A definição de função logaritmica mostra que a função logaritmica natural  f(x) = ln x e a função exponencial natural g(x) = ex são funções inversas uma da outra. Isso significa que seus gráficos são reflexões um do outro em relação à reta y = x.

O domínio da função logaritmica natural y = f(x) = ln x é o conjunto dos números reais positivos, ou seja, o valor de y só pode ser calculado para valores de x > 0.

Como as funções f(x) = ln x e g(x) = ex são inversas uma da outra, então o domínio de f(x) = ln x é igual a imagem de g(x) = ex e a imagem de  f(x) = ln x é igual ao domínio de g(x) = ex.

Logaritmo: Propriedade Parte 3 ( Aula 3 de 5)

Logaritmo: Propriedade Parte 2 ( Aula 2 de 5)

Logaritmo: Formula Parte 1 ( Aula 1 de 5)

Propriedades dos Logaritmos

Propriedades dos Logaritmos

Os logaritmos criados por John Napier e Jobst Burgi, e posteriormente adaptados por Henry Briggs, possuem a seguinte lei de formação: 

log_ab = x, onde: 

a = base do logaritmo 
b = logaritmando 
x = logaritmo 
O logaritmo de um número b em uma base a é o expoente x que se deve aplicar à base a para se ter o número b. Dessa forma: 

log_ab = x ↔ a^x = b 

Exemplos: 

log₃9 ↔ 3² = 9 
log₁₀100 ↔ 10² = 100 
log₂16 ↔ 2⁴ = 16 
log₉81 ↔ 9² = 81 

A partir dessa definição podemos apresentar algumas definições que auxiliarão no desenvolvimento de algumas situações envolvendo logaritmo. Veja: 

O logaritmo do número 1 em qualquer base sempre será igual a 0. 

log_a1 = 0, pois a⁰ = 1 

O logaritmo de qualquer número a na própria base a será igual a 1. 

log_aa = 1, pois a¹ = a 

O logaritmo de uma potência da base é o expoente, em qualquer base. 

log_aa^m = m, pois m * log_aa = m * 1 = m 

A potência de base a e expoente logab é igual a b. 

a^log_ab = b, pois log_ab = x → a^x = b 

Dois logaritmos são iguais, quando seus logaritmandos forem iguais. 

log_ab = log_ac ↔ b = c 



Exemplos 

Aplicar a definição de logaritmo para calcular o valor de x em cada caso: 

a) log₃27 = x → 3^x = 27 → x = 3 

b) log₈₁x = 3/4 → x = 81^3/4 → x = (3⁴)^3/4 → x = 3^12/4 → x = 3³ → x = 27 

c) log₄√2 = x → 4^x = √2 → 2^2x = √2 → 2^2x = 2^1/2 → 2x = 1/2 → x = 1/4 

d) log_x8 = 2 → x² = 8 → √x = √8 → x = 2√2 

e) log₄(2x – 1) = 1/2 → 2x – 1 = 4^1/2 → 2x – 1 = √4 → 2x – 1 = 2 → 2x = 3 → x = 3/2 

f) log₁₈18 = x → 18^x = 18 → x = 1 

g) log_x1024 = 2 → x² = 1024 → √x² = √1024 → x = 32 

h) log₄0,25 = x → 4^x = 0,25 → 4^x = 25/100 → 4^x = 1/4 → 4^x = 4^–1 → x = –1 

i) 16^log₂5 = (2⁴)^log₂5 = (2^log₂5)⁴ = 5⁴ = 625 

j) log0,01 = x → 10^x = 0,01 → 10^x = 1/100 → 10^x = 10^–2 → x = –2