Exercício

Lista de Exercícios

Conteúdo: Potenciação e Exponencial

Definição: Potenciação ou Exponenciação significa multiplicar um número real (base) por ele mesmo X vezes, onde X é a potência (número natural). Exemplo:

3² (leia-se "três elevado ao quadrado", ou "três elevado à segunda potência" ou ainda "três elevado à dois").

No exemplo, precisamos multiplicar o 3 por ele mesmo. Ficando: 3.3 = 9.

Então 3³ = 3 . 3 . 3 = 3 . 9 = 27

Algumas outras definições que podem ser utilizadas:

a¹ = a
a⁰ = 1, a ≠ 0

Propriedades

1 - Multiplicação de potências de bases iguais = mantenha a base e some os expoentes:

aⁿ . a^m = a^n+m

2 - Divisão de potências de bases iguais - mantenha a base e subtraia os expoentes:

(aⁿ) / (a^m) = a^n-m , "a" diferente de zero.

3 - Potência de potência = mantenha a base e multiplique os expoentes:

(a^m)ⁿ = a^{m . n}

Atenção

As potências abaixo NÃO são iguais:

(a^m)ⁿ

e

a^mn

na primeira, resolvemos o que está entre parênteses primeiro, já na segunda, nós devemos elevar mà n, e depois elevar a ao resultado da operação anterior.

4 - (a . b)ⁿ = aⁿ . bⁿ

5 - (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ , "b" diferente de zero.

Potenciação com números negativos

Observe os exemplos abaixo:

(-3)² = 9
-3² = -9

O sinal de negativo ( - ) na frente do três, só fará parte da potenciação quando estiver dentro de um parêntese, caso contrário, ele continua no seu lugar no resultado.

Porém, no primeiro exemplo, o expoente é 2, número par, por isto o negativo do 3 ao final se transforma em positivo. Se fosse 3, o resultado seria negativo:
(-3)³ = (-3) . (-3) . (-3) = 9 . (-3) = -27

se tirarmos os parênteses

-3³ = - 3 . 3 . 3 = -9 . 3 = -27

Conteúdo: Função Quadrática

FUNÇÃO QUADRÁTICA

Toda função que apresenta lei de formação do tipo f(x) = a.x² + bx + c é identificada como função quadrática ou função do 2° grau.

O estudo da função quadrática é extremamente importante dentro da Matemática e em outras ciências também. A famosa parábola, bastante característica dessa função, pode ser encontrada em trabalhos relacionados com a Física, Química e a Biologia.

De forma simplificada, podemos afirmar que toda relação do tipo f(x) = ax² + bx + c, com a, b e cpertencentes aos reais e a ≠ 0, é caracterizada como uma função do 2° grau ou função quadrática. Vejamos alguns exemplos de outras leis de formação de funções do 2° grau:

f(x) = x² + 2x + 3
g(x) = – x ? (x + 2)
h(x) = x²
i(x) = (– ½)x² + 5

Desde que obedeça à relação f(x) = ax² + bx + c, a função pode apresentar-se de várias fomas diferentes, como vimos nos exemplos acima. Mas independentemente de como a função se apresente, seu gráfico sempre é uma parábola. Esta se assemelha a letra U, podendo também aparecer invertida, como um símbolo de intersecção (∩). Se o coeficiente a da função é positivo, a parábola tem concavidade para cima (U); mas se é negativo, a parábola tem concavidade para baixo (∩).

Vejamos a seguir os gráficos correspondentes às funções f(x), g(x), h(x) e i(x) dos exemplos:

Conteúdo: Função Exponencial

FUNÇÃO EXPONENCIAL

Toda relação de dependência, em que uma incógnita depende do valor da outra, é denominada função. A função denominada como exponencial possui essa relação de dependência e sua principal característica é que a parte variável representada por xse encontra no expoente. Observe:

y = 2 ^x
y = 3 ^{x + 4}
y = 0,5 ^x
y = 4 ^x

A lei de formação de uma função exponencial indica que a base elevada ao expoente x precisa ser maior que zero e diferente de um, conforme a seguinte notação:

                                    f: R→R tal que y = a ^x, sendo que a > 1 ou 0 < a < 1.

Uma função pode ser representada através de um gráfico, e no caso da exponencial, temos duas situações: a > 1 e 0 < a < 1. Observe como os gráficos são constituídos respeitando as condições propostas:

Uma função exponencial é utilizada na representação de situações em que a taxa de variação é considerada grande, por exemplo, em rendimentos financeiros capitalizados por juros compostos, no decaimento radioativo de substâncias químicas, desenvolvimento de bactérias e micro-organismos, crescimento populacional entre outras situações. As funções exponenciais devem ser resolvidas utilizando, se necessário, as regras envolvendo potenciação.

Vamos apresentar alguns exemplos envolvendo o uso de funções exponenciais.

Exemplo 1

(Unit-SE) Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos após a sua compra, é dado por v(t) = v₀ * 2 ^–0,2t, em que v₀ é uma constante real. Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ 12 000,00, determine o valor que ela foi comprada.
Temos que v(10) = 12 000, então:

v(10) = v₀ * 2 ^–0,2*10

12 000 = v₀ * 2 ^–2

12 000 = v₀ * 1/4

12 000 : 1/ 4 = v₀

v₀ = 12 000 * 4

v₀ = 48 000

A máquina foi comprada pelo valor de R$ 48 000,00.



Exemplo 2

(EU-PI) Suponha que, em 2003, o PIB (Produto Interno Bruto) de um país seja de 500 bilhões de dólares. Se o PIB crescer 3% ao ano, de forma cumulativa, qual será o PIB do país em 2023, dado em bilhões de dólares? Use 1,03²⁰ = 1,80.

Temos a seguinte função exponencial

P(x) = P₀ * (1 + i)^t

P(x) = 500 * (1 + 0,03)²⁰

P(x) = 500 * 1,03²⁰

P(x) = 500 * 1,80

P(x) = 900

O PIB do país no ano de 2023 será igual a R$ 900 bilhões. 

Conteúdo: Estudo do sinal da função Afim

Zero ou Raiz da Função Polinomial do 1° Grau

Dada uma função afim definida por , com  e , temos que o zero ou raiz desta função é o valor de x que a anula, isto é, é o valor de x para o qual f(x) = 0, ou em outras palavras, o valor de x que torna y = 0;

Vamos analisar o gráfico da função  que temos abaixo

Podemos notar que no ponto (3, 0), pertencente ao gráfico da função, temos o valor de x, que neste caso é 3, anulando a função, ou seja, cuja ordenada (y) é igual azero. Então x = 3 é a raiz da função.

Toda função  na forma  possui uma única raiz

Determinando a Raiz de uma Função Polinomial do 1° Grau

Vamos determinar algebricamente a raiz da função  que vimos acima.

Para que um valor x seja raiz da função, é preciso que tenhamos f(x) = 0.

Vamos realizar tal substituição na lei de formação da função:

Note que obtivemos uma equação do primeiro grau, portanto para determinarmos o valor de x basta que a solucionemos:

Como já era de se esperar, para y = 0 temos que x = 3, o que nos leva ao ponto (3, 0), pertencente ao gráfico da função, como vimos destacado no gráfico anterior.

Resumindo, para determinarmos a raiz de uma função afim basta substituirmos o f(x) ou y da regra de associação da função, por 0 e solucionarmos a equação do primeiro grau encontrada, obtendo assim a raiz da função.

Função Crescente e Decrescente

Como o gráfico de uma função afim é uma reta, ela é crescente ou decrescente para qualquer elemento do seu domínio, mas como isto não acontece para todas as funções, o conceito de função crescente e de função decrescente é aplicado a intervalos do domínio da função.

Função Crescente

Uma função é crescente em um dado intervalo [x₁, x₂] do seu domínio quando tivermos a seguinte implicação

Ou:

Podemos ver no gráfico abaixo que quando aumentamos o valor de x, o valor de f(x), isto é, o valor de y também aumenta.

O ponto (x₁, y₁) está abaixo do ponto (x₂, y₂), o que indica que a função está crescendo.

Função Decrescente

Uma função é decrescente em um dado intervalo [x₁, x₂] do seu domínio quando tivermos a implicação a seguir:


Referência: http://www.matematicadidatica.com.br/FuncaoAfimVariacaoSinal.aspx