Logaritmo: Calculos Parte 5 ( Aula 5 de 5)

Logaritmo: Calculos Parte 4 ( Aula 4 de 5)

Logaritmo questões resolvidas

Questão com equação logarítmica no Enem de 2013

Em setembro de 1987, Goiânia foi palco do maior acidente radioativo ocorrido no Brasil, quando uma amostra de césio-137, removida de um aparelho de radioterapia abandonado, foi manipulada inadvertidamente por parte da população. A meia-vida de um material radioativo é o tempo necessário para que a massa desse material se reduza à metade. A meia-vida do césio-137 é 30 anos e a quantidade restante de massa de um material radioativo, após t anos, é calculada pela expressão M(t) = A · (2,7)^kt, onde A é a massa inicial e k é uma constante negativa.
Considere 0,3 como aproximação para log10 2.

Qual o tempo necessário, em anos, para que uma quantidade de massa do césio-137 se reduza a 10% da quantidade inicial?

a) 27
b) 36
c) 50
d) 54.
e) 100.

Resolução: De acordo com o enunciado do exercício, sabemos que a meia-vida do césio-137 é de 30 anos. Aplicando esse valor à expressão M(t) = A · (2,7)^kt, podemos substituir o tempo t por 30 e a massa A, quando t = 30, por A/2:

M(t) = A · (2,7)^kt
 A  = A · (2,7)k.30
2                    
(2,7)^30.k =  1  
                           2            
(2,7)^30.k = 2 ^{– 1}
 
Agora basta aplicar logaritmo de base 10 em ambos os lados da equação:

log (2,7)^30.k = log ^{2 – 1}
30k. log 2,7 = – 1. log 2 

Como log10 2 = 0,3:

30k. log 2,7 = – 1. 0,3
30k. log 2,7 = – 0,3
log 2,7 =  – 0,3 
                 30k
log 2,7 =  – 0,01  (*)
             k

Reserve a equação (*), logo mais ela nos será necessária. Você se lembra de que a pergunta do exercício era “Qual o tempo necessário, em anos, para que uma quantidade de massa do césio-137 se reduza a 10% da quantidade inicial?”. Pois bem, precisamos descobrir em quanto tempo a massa será apenas 10% da massa inicial, ou seja, 0,1A. Assim sendo:

0,1A = A · (2,7)^kt
(2,7)^kt = 0,1

Aplicando logaritmos em ambos os lados da igualdade, teremos:

log (2,7)^kt = log 0,1
kt. log 2,7 = – 1

Mas pela equação (*), podemos substituir log 2,7:

kt. log 2,7 = – 1
kt. (– 0,01) = – 1
k
– 0,01t = – 1
t =   1   
     0,01
t = 100

Portanto, em 100 anos, a massa do césio-37 será reduzida para 10¢ da quantidade inicial. A alternativa correta é a letra e.

Questão com equação logarítmica no Enem de 2011

A Escala de Magnitude de Momento (abreviada como MMS e denotada como Mw), introduzida em 1979 por Thomas Haks e Hiroo Kanamori, subsituiu a Escala de Richter para medir a magnitude dos terremotos em termos de energia liberada. Menos conhecida pelo público, a MMS é, no entanto, a escala usada para estimar as magnitudes de todos os grandes terremotos da atualidade. Assim como a escala Ricther, a MMS é uma escala logarítmica. M_w e M₀ se relacionam pela fórmula:

M_w = – 10,7 +  2 log₁₀ (M₀)
       3

Onde M₀ é o movimento sísmico (usualmente estimado a partir dos registros de movimento da superfície, através dos sismogramas), cuja unidade é o dina⋅ cm.
O terremo de Kobe, acontecido no dia 17 de janeiro de 1995, foi um dos terremotos que causaram maior impacto no Japão e na comunidade científica internacional. Teve magnitude M_w= 7,3. 

U.S. GEOLOGICAL SURVEY. Historic Earthquakes.
Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado).
U.S. GEOLOGICAL SURVEY. USGS Earthquake Magnitude Policy.
Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado).

Mostrando que é possível determinar a medida por meio de conhecimentos matemáticos, qual foi o momento sísmico M₀ do terremoto de Kobe (em dina⋅ cm)?

a) 10 ^{– 5,10}
b) 10 ^{– 0,73}
c) 10 ^12,00
d) 10 ^21,65
e) 10 ^27,00

Resolução: De acordo com o exercício, podemos utilizar a seguinte equação logarítmica para medir a magnitude dos terremotos:

Mw = – 10,7 +  2 log₁₀ (M₀)
       3

Se o terremoto de Kobe teve magnitude M_w = 7,3, basta substituirmos esse valor na equação logarítmica para determinar seu momento sísmico M₀:

Mw = – 10,7 +  2 log₁₀ (M₀)
       3
7,3 = – 10,7 +  2 log₁₀ (M₀)
       3
7,3 + 10,7 =  2 log₁₀ (M₀)
     3
18 =  2 log₁₀ (M₀)
3      
 2 log10 (M₀) = 18
3                      
2.log₁₀ (M₀) = 18.3
log₁₀ (M₀) = 54
                  2
log₁₀ (M₀) = 27

Aplicando as propriedades operatórias dos logaritmos, temos:

M₀ = 1027

Portanto, o momento sísmico do terremoto de Kobe foi de M₀ = 10²⁷ _dina⋅ cm e a alternativa correta é a letra e.

Logaritmo-Grafico

Em seus estudos anteriores, você já deve ter aprendido a trabalhar um pouco com logaritmos do tipo log10 x. Esse logaritmo é definido como                                  log10 x = b    se, e somente se,   10b = x onde o número 10 é denominado base do logaritmo. A figura abaixo mostra o gráfico da função logaritmica f(x) = log10 x.

No estudo do Cálculo, a base mais utilizada para logaritmos é o número e. Nesse caso, o logaritmo loge x = ln x é denominado "logaritmo natural de x" e definido como                             ln x = loge x = b    se, e somente se,   eb = x

A figura abaixo mostra o gráfico da função logaritmica natural f(x) = ln x.

Observe que:

Se x > 0, então ln x é o expoente ao qual deve se elevar a base e para se obter o valor de x.

A definição de função logaritmica mostra que a função logaritmica natural  f(x) = ln x e a função exponencial natural g(x) = ex são funções inversas uma da outra. Isso significa que seus gráficos são reflexões um do outro em relação à reta y = x.

O domínio da função logaritmica natural y = f(x) = ln x é o conjunto dos números reais positivos, ou seja, o valor de y só pode ser calculado para valores de x > 0.

Como as funções f(x) = ln x e g(x) = ex são inversas uma da outra, então o domínio de f(x) = ln x é igual a imagem de g(x) = ex e a imagem de  f(x) = ln x é igual ao domínio de g(x) = ex.

Logaritmo: Propriedade Parte 3 ( Aula 3 de 5)

Logaritmo: Propriedade Parte 2 ( Aula 2 de 5)

Logaritmo: Formula Parte 1 ( Aula 1 de 5)

Propriedades dos Logaritmos

Propriedades dos Logaritmos

Os logaritmos criados por John Napier e Jobst Burgi, e posteriormente adaptados por Henry Briggs, possuem a seguinte lei de formação: 

log_ab = x, onde: 

a = base do logaritmo 
b = logaritmando 
x = logaritmo 
O logaritmo de um número b em uma base a é o expoente x que se deve aplicar à base a para se ter o número b. Dessa forma: 

log_ab = x ↔ a^x = b 

Exemplos: 

log₃9 ↔ 3² = 9 
log₁₀100 ↔ 10² = 100 
log₂16 ↔ 2⁴ = 16 
log₉81 ↔ 9² = 81 

A partir dessa definição podemos apresentar algumas definições que auxiliarão no desenvolvimento de algumas situações envolvendo logaritmo. Veja: 

O logaritmo do número 1 em qualquer base sempre será igual a 0. 

log_a1 = 0, pois a⁰ = 1 

O logaritmo de qualquer número a na própria base a será igual a 1. 

log_aa = 1, pois a¹ = a 

O logaritmo de uma potência da base é o expoente, em qualquer base. 

log_aa^m = m, pois m * log_aa = m * 1 = m 

A potência de base a e expoente logab é igual a b. 

a^log_ab = b, pois log_ab = x → a^x = b 

Dois logaritmos são iguais, quando seus logaritmandos forem iguais. 

log_ab = log_ac ↔ b = c 



Exemplos 

Aplicar a definição de logaritmo para calcular o valor de x em cada caso: 

a) log₃27 = x → 3^x = 27 → x = 3 

b) log₈₁x = 3/4 → x = 81^3/4 → x = (3⁴)^3/4 → x = 3^12/4 → x = 3³ → x = 27 

c) log₄√2 = x → 4^x = √2 → 2^2x = √2 → 2^2x = 2^1/2 → 2x = 1/2 → x = 1/4 

d) log_x8 = 2 → x² = 8 → √x = √8 → x = 2√2 

e) log₄(2x – 1) = 1/2 → 2x – 1 = 4^1/2 → 2x – 1 = √4 → 2x – 1 = 2 → 2x = 3 → x = 3/2 

f) log₁₈18 = x → 18^x = 18 → x = 1 

g) log_x1024 = 2 → x² = 1024 → √x² = √1024 → x = 32 

h) log₄0,25 = x → 4^x = 0,25 → 4^x = 25/100 → 4^x = 1/4 → 4^x = 4^–1 → x = –1 

i) 16^log₂5 = (2⁴)^log₂5 = (2^log₂5)⁴ = 5⁴ = 625 

j) log0,01 = x → 10^x = 0,01 → 10^x = 1/100 → 10^x = 10^–2 → x = –2 

História dos Logaritmos

O desenvolvimento dos logaritmos nasceu da necessidade de simplificação de alguns cálculos matemáticos, principalmente por conta do desenvolvimento da Astronomia e da expansão do comércio causada pelas grandes navegações. Uma maior intensidade nesse desenvolvimento se deu entre os séculos XVI e XVII e os logaritmos surgiram como meios de cálculos, que transformavam complexas operações de multiplicação e divisão em simples operações de adição e subtração.

A invenção do logaritmo

O inventor dos logaritmos foi o escocês John Neper (1550-1617). Mais conhecido por Napier, ele não foi o único de sua época a apresentar desenvolvimentos no campo dos logaritmos, alguns outros matemáticos também apresentaram propostas idênticas à sua.

A proposta de Napier baseou-se numa propriedade já conhecida à época, a multiplicação de potências de mesma base: a^m . aⁿ = a^m+n, que em linguagem simples quer dizer que a multiplicação de duas potências de mesma base resulta em uma outra potência, formada pela conservação de uma das bases anteriores e elevada ao expoente que resulta da soma dos dois expoentes das potências anteriores.

John Neper

John Neper (Napier) não foi um matemático profissional. Ele era dono de várias propriedades na Escócia, onde administrava os seus bens enquanto escrevia sobre vários assuntos. Prova da versatilidade dele foi à afirmação que ele fez no Livro das Revelações, dizendo que o papa em Roma era o anticristo. Não eram todos os temas da matemática que despertavam o interesse de Napier, especialmente os assuntos ligados à computação e a trigonometria lhes chamava atenção.

Segundo depoimentos do próprio Napier, até que os resultados de suas descobertas sobre os logaritmos fossem publicadas pela primeira vez passaram-se vinte anos, portanto, uma vida dedicada a este assunto. Este fato remete a origem das ideias logarítmicas de Napier ao ano de 1594. Movido por observações das sequências de potências sucessivas, publicadas cinquenta anos antes por Stifel e também nas obras de Arquimedes, ele deparou-se com a evidência de que as somas ou diferenças dos índices das potências eram na verdade produtos ou quocientes das potências dadas, mas com uma particularidade nas sequências de potências inteiras de mesma base, a exemplo do 2, que não poderia ser usada para computações, devido as imprecisões geradas por interpolações realizadas em grandes lacunas entre os termos sucessivos.

O método de Napier

Para melhor compreensão do método de Napier, atente-se na tabela que se segue. Os números da primeira linha são os expoentes, enquanto a segunda linha contém as potências de 2 correspondentes a esses expoentes. Segundo a tabela, podemos calcular produtos complicados, como 32 x 512, operando com uma simples operação de adição.

O que Napier fez foi uma tabela similar a esta, com a ideia de ter facilitado o cálculo de dois números quaisquer. Porém, ele precisaria que a sequência de números da segunda linda fosse formada por números cuja razão se aproximasse de 1, ou seja, ele estava buscando reduzir as lacunas entre os números da segunda linha, o que lhe daria maioria chances de encontrar quaisquer que fosse o produto procurado. Na tabela exemplificada anteriormente a razão é 2, isso gera grandes lacunas entre os números dessa sequência.

Napier solucionou o problema das lacunas utilizando a razão  com resultado aproximado a 0,9999999 e para resolver o problema dessas casas decimais que se repetem, ele resolveu multiplicar as potências obtidas com essa razão por 10⁷. A tabela que ele propôs, como reflexo dessas conclusões, foi formada, na primeira linha, pelos expoentes L e na segunda por números N, ficando na forma seguinte:

O expoente L foi por ele chamado de logaritmo de N, sendo a palavra logaritmo devida do latim, onde logos = razão e aritmos = número. O Método dos Logaritmos significava para Napier o desejo de expressar a criação de um método de cálculo a partir de razões numéricas ou da proporção de números. Perceba que fazendo L = 0 obteremos N = 10⁷, o que quer dizer que, para Napier, o logaritmo de 10⁷ = 1. Em 1614 John Neper publicou o resultado de suas descobertas no livro Mirifici logarithmorum canonis descriptio (Descrição do maravilhoso método dos logaritmos).

É importante lembrar que Neper principiou a sua obra com explicações que utilizavam termos geométricos. Ele não pensou uma base para o seu sistema, basicamente escrevendo multiplicações repetidas que equivaliam a 0,9999999.

Burgi e Briggs

Na mesma época de Napier, eis que surge, de forma independente, o suíço Joost Burgi (1552-1632) com a proposta de um método idêntico ao dele, empregando uma razão de valor 1,0001, e primeiro termo 10⁸. Burgi criou um método de cálculo de logaritmos e construiu uma tabela com aproximadamente 20 000 termos. Mas foi o matemático inglês Henry Briggs (1561-1630) quem os adaptou para valores mais fáceis de serem utilizados por meio dos logaritmos decimais, como hoje os conhecemos.