Propriedades dos Logaritmos

Propriedades dos Logaritmos

Os logaritmos criados por John Napier e Jobst Burgi, e posteriormente adaptados por Henry Briggs, possuem a seguinte lei de formação: 

log_ab = x, onde: 

a = base do logaritmo 
b = logaritmando 
x = logaritmo 
O logaritmo de um número b em uma base a é o expoente x que se deve aplicar à base a para se ter o número b. Dessa forma: 

log_ab = x ↔ a^x = b 

Exemplos: 

log₃9 ↔ 3² = 9 
log₁₀100 ↔ 10² = 100 
log₂16 ↔ 2⁴ = 16 
log₉81 ↔ 9² = 81 

A partir dessa definição podemos apresentar algumas definições que auxiliarão no desenvolvimento de algumas situações envolvendo logaritmo. Veja: 

O logaritmo do número 1 em qualquer base sempre será igual a 0. 

log_a1 = 0, pois a⁰ = 1 

O logaritmo de qualquer número a na própria base a será igual a 1. 

log_aa = 1, pois a¹ = a 

O logaritmo de uma potência da base é o expoente, em qualquer base. 

log_aa^m = m, pois m * log_aa = m * 1 = m 

A potência de base a e expoente logab é igual a b. 

a^log_ab = b, pois log_ab = x → a^x = b 

Dois logaritmos são iguais, quando seus logaritmandos forem iguais. 

log_ab = log_ac ↔ b = c 



Exemplos 

Aplicar a definição de logaritmo para calcular o valor de x em cada caso: 

a) log₃27 = x → 3^x = 27 → x = 3 

b) log₈₁x = 3/4 → x = 81^3/4 → x = (3⁴)^3/4 → x = 3^12/4 → x = 3³ → x = 27 

c) log₄√2 = x → 4^x = √2 → 2^2x = √2 → 2^2x = 2^1/2 → 2x = 1/2 → x = 1/4 

d) log_x8 = 2 → x² = 8 → √x = √8 → x = 2√2 

e) log₄(2x – 1) = 1/2 → 2x – 1 = 4^1/2 → 2x – 1 = √4 → 2x – 1 = 2 → 2x = 3 → x = 3/2 

f) log₁₈18 = x → 18^x = 18 → x = 1 

g) log_x1024 = 2 → x² = 1024 → √x² = √1024 → x = 32 

h) log₄0,25 = x → 4^x = 0,25 → 4^x = 25/100 → 4^x = 1/4 → 4^x = 4^–1 → x = –1 

i) 16^log₂5 = (2⁴)^log₂5 = (2^log₂5)⁴ = 5⁴ = 625 

j) log0,01 = x → 10^x = 0,01 → 10^x = 1/100 → 10^x = 10^–2 → x = –2